7edmica v porciji sladoleda
Sobota, 17. februar, 2007
Tale objava je odgovor na Robertovo Sladoledarsko. Zainteresiral me je Robertov zadnji komentar, da si z analitiko ne gré biti čela, saj rezultat ni ravno lep. Bolj kot sem buljil v kornet, bolj me je kljuvalo, da je sladoled vendar videti lepo skladen in da bi se morda le splačalo še malo pomujati z analitiko. Potem pa sem se še začel spraševati, koliko sladoleda bi spravili v kornet, če bi vanj lahko nanizali nešteto kroglic? Morda pa se v sladoledu skriva kakšna pravilnost, ki bi jo bilo škoda spregledati? Pa si poglejmo…
Risba je sposojena od Roberta in na njej je označeno vse potrebno. Kot alfa je zaradi lažjega računanja polovični kot pri vrhu stožca.
Najprej si poglejmo nekaj zaporednih polmerov sladolednih kroglic. Zaradi enostavnejšega zapisa uvedemo konstanto a:
Osnovni izračun za r1 in r2 dobimo s podobnimi trikotniki. Potem pa z malo telovadbe odkrijemo, da polmeri zaporednih kroglic pravzaprav tvorijo geometrijsko zaporedje:
Količnik geometrijskega zaporedja je 1-2a. Pri kotu 40° je torej polmer vsake naslednje kroglice približno 49% polmera prejšnje. Količnik lahko zapišemo še malo lepše:
Če bi imel naš sladoledar na razpolago vso večnost, bi nam nadeval vse manjših in manjših kepic prav do vrha, ali bolje do dna korneta. Pa malo preverimo, ali so izračuni pravilni. Vsota premerov vseh nešteto kroglic mora biti enaka višini korneta:
Bo že držalo:
Sorazmerja med polmeri kepic zdaj poznamo. Kako pa je z njihovimi prostorninami? Zanima me, kolikšen del korneta zasede infinitum kepic:
Tudi prostornine kepic tvorijo geometrijsko zaporedje, njegov količnik pa je kub količnika od polmerov. Prostornina korneta je:
Zdaj lahko izračunamo razmerje med prostornino kroglic in prostornino korneta. Telovadba je nekolikanj mučna, zato na tem mestu navajam samo rezultat:
Prav prima razmerje, mar ne?
In prav tukaj se pokaže skrita odlika našega vesolja. Če bi ga zvili v kornet s kotom pri vrhu 90° in ga napolnili s sladoledom, bi sladoled zavzel točno dve sedmini vesolja.
Morda gre celo za skrito agendo. Kajti, ste se pravzaprav že kdaj srečali s kakim naravnim sorazmerjem, v katerem bi tičala številka 7?
Tale objava je odgovor na Robertovo Sladoledarsko. Zainteresiral me je Robertov zadnji komentar, da si z analitiko ne gré biti čela, saj rezultat ni ravno lep. Bolj kot sem buljil v kornet, bolj me je kljuvalo, da je sladoled vendar videti lepo skladen in da bi se morda le splačalo še malo pomujati z analitiko. Potem pa sem se še začel spraševati, koliko sladoleda bi spravili v kornet, če bi vanj lahko nanizali nešteto kroglic? Morda pa se v sladoledu skriva kakšna pravilnost, ki bi jo bilo škoda spregledati? Pa si poglejmo…
Risba je sposojena od Roberta in na njej je označeno vse potrebno. Kot alfa je zaradi lažjega računanja polovični kot pri vrhu stožca.
Najprej si poglejmo nekaj zaporednih polmerov sladolednih kroglic. Zaradi enostavnejšega zapisa uvedemo konstanto a:
Osnovni izračun za r1 in r2 dobimo s podobnimi trikotniki. Potem pa z malo telovadbe odkrijemo, da polmeri zaporednih kroglic pravzaprav tvorijo geometrijsko zaporedje:
Količnik geometrijskega zaporedja je 1-2a. Pri kotu 40° je torej polmer vsake naslednje kroglice približno 49% polmera prejšnje. Količnik lahko zapišemo še malo lepše:
Če bi imel naš sladoledar na razpolago vso večnost, bi nam nadeval vse manjših in manjših kepic prav do vrha, ali bolje do dna korneta. Pa malo preverimo, ali so izračuni pravilni. Vsota premerov vseh nešteto kroglic mora biti enaka višini korneta:
Bo že držalo:
Sorazmerja med polmeri kepic zdaj poznamo. Kako pa je z njihovimi prostorninami? Zanima me, kolikšen del korneta zasede infinitum kepic:
Tudi prostornine kepic tvorijo geometrijsko zaporedje, njegov količnik pa je kub količnika od polmerov. Prostornina korneta je:
Zdaj lahko izračunamo razmerje med prostornino kroglic in prostornino korneta. Telovadba je nekolikanj mučna, zato na tem mestu navajam samo rezultat:
Prav prima razmerje, mar ne?
In prav tukaj se pokaže skrita odlika našega vesolja. Če bi ga zvili v kornet s kotom pri vrhu 90° in ga napolnili s sladoledom, bi sladoled zavzel točno dve sedmini vesolja.
Morda gre celo za skrito agendo. Kajti, ste se pravzaprav že kdaj srečali s kakim naravnim sorazmerjem, v katerem bi tičala številka 7?
